int-sch.ru

[Илгизар]

Наталья Михайловна!

Пожалуйста, разъясните признаки делимости на 7.
Схожесть делимости на 1001 понятна, но есть же и трехзначные числа. Не понятна тема про повтор цифр при умножении на 1001.
Вы также объясняли про остатки. Но при делимости на какое-либо число, остатка не должно же быть.
Возможно, не правильно Вас поняли.
Напишите, пожалуйста, если не сложно.

С наилучшими пожеланиями.

[natnet]

1. переформулируем признаки делимости:

а) число дает такой же остаток от деления на 2, на 5, на 10, что и его последняя цифра

б) число дает такой же остаток от деления на 3, на 9, что и сумма его цифр

в) число дает такой же остаток от деления на 4, на 25, на 100, что и число образованное двумя его последними цифрами

г) число дает такой же остаток от деления на 11 что и знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +)

удобство такого подхода в том, что кроме знания о том делится ли число на что-то или нет (дает оно остаток 0 или нет), мы получаем гораздо больше информации: мы знаем сам этот остаток от деления, что во многих задачах и нужно

то есть вместо того, чтобы вычислять остаток числа мы вычисляем остаток некоторой выжимки из этого числа, что зачастую делать легче

2. общая идея доказательства: вычтем из числа соответствующую выжимку и докажем, что то, что осталось делится на наш делитель

пример:
а) разность числа и его последней цифры делится на 10, поэтому число и его последняя цифра дают одинаковые остатки от деления на 10 и делители 10 (то есть 2 и 5)


такой подход к доказательству гарантирует нам следующее: доказав признак делимости на n мы тем самым доказали признак делимости (тот же самый) и на все его делители

3. Признак делимости на 1001, а также его делители (7, 11 и 13)

число дает такой же остаток от деления на 1001 (на 7, на 13), что и знакопеременная сумма чисел образованных тройками его цифр, взятыми с конца. (последнее число со знаком +)

abcdefghikl=ikl-fgh+cde-ab (mod 1001)

здесь нижнее подчеркивание означает, что буквы - это цифры одного числа

доказательство такое же: вычтем из одного другое, докажем, что разность делится на 1001 (это не сложно)

действительно признак громоздкий, действительно, он ничего нам не дает для трех- и менее значных чисел, но для многозначных чисел очень удобен.
_________________
------------
Наталья Нетрусова